現地の異常

　　　　　　　　　　　　　　　GPS測量ダメ話　7
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（DOPの話）

　GPS測量を説明するのに，少し勉強をしようと，5年ほど前にW氏から押しつけられた解説書「GPS測量技術」（オーム社出版，佐田達典著）を読み返した。元々勉強嫌いな性格だから必要なところだけのつまみ読みなのだが，今回はDOPの事が気になったのでじっくり読み返してみた。

　1996年のGPS購入当時にDOPが4より小さい数字の時に観測する必要があると言われていた。

　DOPは観測点と上空の4つの衛星で作る容積が一番大きくなる容積が衛星の配置により容積が劣化する率だと聞かされていたが，2万㎞上空の衛星と観測点との関係なのでピンときていない。

　1番良いときは1で4の時はどのような形なのか全く分らない。解析ソフトで観測計画のDOPの表を出せばいろいろと賑やかに表示はしてくれるのだが全く実感が湧かない。

　ぱらぱらと本をめくっていると

P32に衛星情報と測位精度の説明

があり（図－1）のような例題があり

ました。例題では観測地点からの仰

角φが30度とした時，上空の衛星が

観測点の天頂にSV1，仰角30°の

位置で120°の均等な角度でSV2，

SV3，SV4が配置されている時の

GDOP，PDOP，HDOP，VDOP，

　TDOPを求めよという例題である。仕事も暇だし転置行列や行列のかけ算，逆行列の計算はエクセルがやってくれるので計算してみた。

　数字の遊びなのだが，今まで頭の中でもやもやしていた事であり記載してみます。
　計算過程等は当方が勝手に解釈しているので，誤りがあっても責任は待ちません。
例題の答えは，分数で表示されていますが，角度を入れることによりDOPが計算出来るように（図－1）を仰角とX軸からの角度で計算してみました。

　（図－1）では，仰角φは

SV1=90°SV2=30°

SV3=30°SV4=30°です。

　X軸からの角度λは

SV1=0°SV2=90°

SV3=330°SV4=210°にな

ります。

　これを（図－2）のように計算

してみるとAの行列式は（図－

2）のようになります。

　転置行列や行列のかけ算，

そして逆行列はエクセルに計算

を任せると（図－3）のような結

果がでました。

　GDOP，PDOP，HDOP，

VDOP，TDOPは（図－3）の逆

行列の対角要素を掛ければそ

れぞれの答えになります。

GDOPは幾何学的な精度低下

率，PDOPは位置精度低下率，HDOPは水平方向，VDOPは上下方向，TDOPは時計に関する指標です。

　　　GDOP=√（0.88888889+0.88888889+5.333333333+2.333333333）
　　　　　　　=3.07318149≒3.07
　　　PDOP=√（0.88888889+0.88888889+5.333333333）
　　　　　　　=2.66666667≒2.67
　　　HDOP=√（0.88888889+0.88888889）=1.33333333≒1.33
　　　VDOP=√（5.33333333）=2.30940108≒2.31
　　　TDOP=√（2.33333333）=1.52752523≒1.53となりました。

　例題の解説と同様の値になっ

たので合っているのだと思いま

す。「やさしいGPS測量」（日本

測量協会発行･土屋淳･辻宏道　

著）ではGDOPが5以下であれば

実務上支障のない範囲というこ

とです。この数字を目安にφ角

とλ角を色々入れ替えて計算し

てみることにします。

仰角φが0°
　最大の容積になるのは（図－4）に示すように天頂に1点，外の3点のφ角が0°で3衛星のλ角が120°で均等に配置された時と思われます。この行列式を作ってみます。

先程と同様な行列式の計算を

行った結果GDOP≒1.73，

PDOP≒1.63，HDOP≒1.15，

VDOP≒1.15， TDOP≒0.58という数値になりました。

仰角φが15°

大気の屈折等により15°までの観測データは利用されませんので，天頂に1点，外の3点のφ角が15°で3衛星のλ角が120°で均等に配置された時が現実には最大の容積と思われます。この行列式を作ってみます。

現実問題として最大容量とな

るのはφ角が15°でその時

のGDOP≒2.14，PDOP≒

1.96，HDOP≒1.20，

VDOP≒1.56，TDOP≒0.85という数値になります。

仰角φが44°

　徐々に容積が少なくなる角度として，どの程度の角度までが大丈夫と思われるのか，更に計算してみたいと思います。天頂に1点，外の3衛星について仰角φを44°λ角は120°で均等に配置されているとすれば，行列を作成すると

　　　　　

行列式の計算の結果
GDOP≒5.06，PDOP≒4.11，HDOP≒1.61，VDOP≒3.78，TDOP≒2.96という数値になります。
この仰角44°がGDOPの値が5となる限度の角度のようです。

仰角φが60°

　今度は天頂に1点，外の3衛星についてλ角は120°で均等に配置されていれば，GDOPがどのように変化するのか，仰角φが60°の場合も計算してみます。
　行列を作成すると
　　　　　

行列式の計算の結果
GDOP≒11.83，PDOP≒8.92，HDOP≒2.31，VDOP≒8.62，TDOP≒7.77という数値になり，GDOPが10を越えてしまいました。この数値になると解析するには不向きな衛星の配置となります。

仰角φが30°でλ角の衛星の配置を考える

　λ角が120°で均等に配置されているという前提で計算してみましたが，今度は衛星が均等に配置されていない場合を計算してみましょう。衛星の配置はいろいろな組み合わせが考えられますが，複雑になるので天頂の1点は固定し，外の3衛星についても仰角φは30°にあるとして考えてみます。

　（図－1）でのS2,S3,S4の衛星の配置はλ角を120°の均等にして計算してみましたが，（図－5）のように均等な配置で無い場合をいろいろと計算してみます。
衛星が上空で常に均等に配置されているのではなく，偏った配置になっている場合は当然起こりえる事です。観測点での障害物の状態によっても，衛星の情報を受信出来ない場合もあります。衛星の配置がどうなるのか知っておくことも大事でしょう。
　GDOPの値を5がどの程度の配置の場合なのか目安としてみたいと思います。
　（図－5）のようにして3衛星の配置の偏りを変化させてみます。
　
3衛星が180°の範囲内に
　衛星は天頂に1点，外の3衛星については仰角φを30°として考えます。λ角をX軸から90°，90°，180°の角度で配置します。λ角はSV2=90°，SV3=270°，SV4=180°となり，行列は次のようになります。3衛星が180°の範囲の中に固まることになります。
GDOP≒3.42，PDOP≒2.94，HDOP≒1.63，
VDOP≒2.45，TDOP≒1.73
　仰角が30°ですので，3衛星が180°の範囲内に固まってもあまり影響はないようです。
　これは120°の均等な範囲が少し広がり，180°の範囲の部分に衛星が存在しないという程度なのかもしれません。

3衛星が135°の範囲内に
　衛星は天頂に1点，外の3衛星については仰角φを30°でλ角をX軸から90°，65°，70°の角度で配置します。3衛星が140°の範囲の中に偏って集まることになります。
　λ角はSV2=90°，SV3=225°，SV4=155°となり，行列は次のようになります。
GDOP≒4.96，PDOP≒4.10，HDOP≒2.46，
VDOP≒3.29，TDOP≒2.79
このあたりの衛星の配置が限界のようです。
　　　
　　　
3衛星が90°の範囲内に
　衛星は天頂に1点，外の3衛星について仰角φは30°，X軸から90°，45°，45°の角度で配置します。3衛星が90°の範囲の中に完全に偏っています。λ角はSV2=90°，SV3=180°，SV4=135°で，行列は次のようになります。
GDOP≒11.09，PDOP≒8.68，HDOP≒4.96，
VDOP≒7.12，TDOP≒6.90
　　ここまで衛星の配置が偏ると解析には不向きな衛星の配置という事になりそうです。
　以上，数字の遊びですが，観測するための目安となる衛星の仰角・配置によるDOPの変化が何かしら分ったような気になります。DOPの計算に使用した図の衛星配置の角度は3次元直交座標で計算していますので，今ひとつピンと来ないと思います。衛星・観測点・天頂の関係は3Dの立体的に表示すれば良いのでしょうが，便宜的にスカイプロットの方式で表示してもう一度確認してみたいと思います。観測点から天頂を見上げた（もしくは天頂から観測点を見下ろした）状態の図面です。DOPが5までは大丈夫だが10以上になると注意という事も「なるほど」と思ってしまいます。

　観測時間中4衛星が同じ仰角と配置で上空に固定された位置にある訳ではありません。観測時間の中に同じ衛星であっても観測時間に仰角やλ角も変化します。GPS衛星は11時間58分の周期で軌道を回っていることから，観測地点で1時間観測すれば衛星は決められた軌道に沿って30度分移動する事になります。観測開始時に仰角30°で適正な配置であった4衛星も時間の経過とともに仰角が60°近くになり，λ角も90°の範囲の中に集まってしまい観測に不向きな配置になってしまう場合もあります。
　衛星も仰角15°より低くなり範囲外となるものや，新たに受信が出来る位置に入ってくる衛星もあります。衛星をバトンタッチして観測する事は可能です。観測中も受信機にDOPは表示されますので現在の状況を知ることは出来ますが，観測が始まってしまえばまな板の上の鯉で何も出来ません。
　観測時間中のDOPの状況はメーカーの作成したソフトであらかじめ確認しておく必要があります。
　衛星情報（放送歴）を入手した後，観測予定日時を入力すると（図－7）のようなDOPの表が表示されます。
　今まで，ソフト任せでいたDOPも，上空の視界や衛星の仰角・配置について関心が持てたところでもう一度，興味を持って確認することができるものと思われます。（図－7）では9時から15時までのDOPの状況が分ります。
　観測計画にあたっては，DOPの小さい時間帯を選びます。
　（図－7）の状態ではすべての時間帯でDOPが4以下ですので大丈夫なのですが，9時30分から10時30分の間の観測が良いといえます。観測を行おうとしている時間帯の衛星はどのような衛星なのでしょうか。そしてどのような配置なのでしょうか。
　（図－8）の衛星で使用可能な衛星の数を知り，（図－9）のスカイプロットで仰角とその配置の関係を知る事が出来ます。順番を逆に衛星の数の多い時間帯を中心に計画する方法もあるのかもしれません。
　いずれにしても，観測点の状況を頭に浮かべての観測計画が可能になります。
　（図－8）から衛星の数の多い時間帯であること。観測時間帯に継続して観測出来るかどうか。
　（図－9）から衛星の配置が時間の経過とともに偏ったものにならないか，おおよその事がわかります。
　現実には，観測点毎に障害物がありますので，その障害物により衛星からの情報を受信出来ず観測から除外しなければならない衛星があります。実際に観測点に出向き，カーテン情報を入力すれば，より正確な観測計画を実施する事が出来ます。
　（図－7），（図－8），（図－9）は2012年9月22日の9時から15時までの実際の情報です。6時間分の情報ですのでGPS衛星も6時間の中では観測点の受信範囲内から範囲外に出たり，途中で範囲内に入ったりしているのが分ります。（図－8）と（図－9）を見比べれば，衛星の飛来状況が良く分ります。
　（図－8）だけをみれば衛星からの情報が受信可能な時間帯は，観測時間の開始時間・終了時間の関係の問題なのか，それとも衛星自身の軌道の関係で受信ができないのか分りません。（図－9）では観測時間帯の観測地点上空での衛星の動きが分ります。
　たとえばG31の衛星は（図－8）から9時から10時までの間上空にあることになっています。（図－9）を見ると衛星番号は観測終了時側に表示されており，9時以前から上空にあったが，観測開始（計画時間）が9時であったために9時から作成されているもので，10時頃に仰角が15°以下になり受信する事が出来ないという事を表しています。
　（図－8）ではG19の衛星は9時から15時まで上空にあります。（図－9）で衛星の軌跡を見ると仰角30°の位置から天頂をとおり仰角15°の位置にまで大きく移動しています。G11の衛星も10時30分から15時まで上空にあり観測できるのですが，G19の衛星を追いかけるように移動しています。
　観測の時間帯によってはG19とG11の組み合わせではなく，G19と反対に移動する軌跡のG07とを組み合わせて考える方がDOPの数値が良くなるのではと推測出来たりします。